Ottobre 2014

Problema del mese di ottobre 2014

Ho queste due sequenze finite di numeri:

  1. 130; 122; 64; 63; 41; 1.
  2. 48; 76; 64; 63: 41, 1.

Per la loro formazione si è proceduto in questo modo.

Il primo numero della sequenza A) è stato scelto a piacere (in  questo esempio abbiamo scelto 130). Per formare il secondo numero abbiamo sommato tutti i divisori di 130 escluso 130 (si chiamano divisori propri e sono 1, 2, 5, 10, 13, 26 e 65). La loro somma vale 122 [ 1 +  2 + 5 + 10 + + 13 + 26 + 65 = (13 + 2) + (10 + 5) + 65 + (26 + 1) = (15 + 15) + 65 +27 = 95 + 27 = 122].

Per trovare il terzo numero abbiamo sommato  tutti i divisori di 122 escluso 122. I divisori minori di 122 sono: 1, 2 e 61 e la somma vale 64 (61 + 2 + 1).

Per trovare il quarto numero abbiamo sommato tutti i divisori minori di 64: 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Questa somma vale 63 [(32 + 8) + (16 + 4) + (2 + 1 ) = (40 + 20 + 3) = 63].

Per trovare il quinto numero abbiamo sommato tutti i divisori minori di 63 e cioè: 1, 3, 7, 9 e 21 ottenendo 41 [(21 + 9) + (7 + 3) + 1 ) = 30 + 10 + 1 = 41.

Siccome 41 non ha divisori maggiori di 1 e diversi da 41 (essendo  un numero primo) possiede il solo divisore 1 che costituisce l’ultimo numero della sequenza].

Come mostra l’esempio, ogni termine della serie è stata calcolato eseguendo la somma dei divisori propri del termine precedente.

 

Lo stesso abbiamo fatto per la successione B) scegliendo per primo elemento, un altro numero preso a piacere (per es. 48). Abbiamo calcolato la somma di tutti i divisori propri di 48 ottenendo 76 [(1 + 2 +  3) + (4 + 6) + (8 + 12) + (16 + 24) =  6 + 10 + 20 + 40 = 76] che rappresenta il secondo numero della successione B).

Abbiamo calcolato la somma di tutti i divisori propri di 76 [(1 + 2 +  4 + 19 + 38) = (1 + 19) + (2 + 38) + 4 = 20 + 40 +4 =64] ottenendo 64 che rappresenta il terzo elemento della successione.

E coì via per gli altri elementi.

A parte qualche raro esempio, per la maggior parte dei numeri scelti a piacere esiste una sola sequenza che dopo un certo numero di passaggi finisce sempre con 1.

Il  quesito del mese di ottobre 2014 consiste nel completare le seguenti quattro successioni in cui abbiamo indicato solo il primo termine.

  1. 40, ….
  2. 44, …
  3. 45, ….
  4.  46, …

Nota Bene: Le 4 successioni non hanno lo stesso numero di termini.

 

Buona ricerca!

(Nei primi giorni del mese di novembre 2014 sarà proposto il nuovo problema).

Per maggiore comodità dei lettori, pubblichiamo la versione scaricabile e stampabile di questo problema.

Download (pdf, 346 KB)

 

Le soluzioni trovate dai lettori devono essere inviate al Mago dei Numeri Prof. Agostino Zappacosta (agostino_zappacosta@libero.it).

Buon Lavoro!!

Soluzioni

Pubblichiamo una soluzione proposta dal Mago dei Numeri.

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