Settembre 2013

Problema del mese di settembre 2013

Per chi non avesse visto il problema del mese di luglio 2013 ripetiamo la premessa.
Giochiamo con i polimini..2
Con questo problema di pavimentazione (o tassellazione) iniziamo dalle configurazioni geometriche più semplici. Occorre al riguardo introdurre alcune definizioni.
Figura polimorfa: figura geometrica piana formata da più figure piane (triangoli, quadrilateri, ecc.) che hanno in comune almeno un lato e non presentano sovrapposizioni o buchi.
Tra le figure polimorfe più semplici ci sono i polimini che sono delle figure geometriche piane composte da un numero finito di quadrati. Un polimino è diverso da un altro quando non riesce a  sovrapporsi perfettamente a questo, mediante rotazioni o simmetrie (ribaltamenti).
Un polimino costituito da un solo quadrato prende il nome di "monomino".
Un polimino costituito da due quadrati prende il nome di "duomino" o “domino”. Il celebre e omonimo gioco da tavolo utilizza tessere di tale forma appunto, ovvero due quadrati identici e affiancati. Aumentando il numero di quadrati, la figura prende i nomi di:

  • trimino (formata da 3 quadrati)
  • tetramino (formata da 4 quadrati)
  • pentamino (formata da 5 quadrati)
  • esamino (formata da 6 quadrati)
  • ecc. ecc.

Nella tabella che segue sono riportate alcune di queste figure in base alla disposizione dei quadrati di cui sono composte:

tabella esempio
Possiamo subito notare che abbiamo una sola configurazione per il monomimo ed il duomino (o domino). Abbiamo due tipi di trimino (l’angolare ed il lungo). Abbiamo 5 tipi di tetramini (identificati dalle lettere: I, L, O, T, Z).
Infine, i pentamini sono 12 e per poterli identificare facilmente, li abbiamo collegati alle lettere dell’alfabeto più vicine alla loro forma (F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z).

Andiamo adesso al quesito vero e proprio:
Calcolate quante configurazioni diverse (a meno di simmetrie e rotazioni) si possono ottenere per ciascuna delle seguenti “tassellazioni”:

  • rettangolo 7×5 utilizzando sette pentamini diversi;
  • quadrato 8×5 utilizzando otto pentamini diversi;
  • rettangolo 9×5 utilizzando nove pentamini diversi.

(Riportiamo, per ciascun caso un esempio).

esempi

Per maggiore comodità dei lettori, pubblichiamo la versione scaricabile e stampabile di questo problema.

Download (pdf, 346 KB)

 

Le soluzioni trovate dai lettori devono essere inviate al Mago dei Numeri Prof. Agostino Zappacosta (agostino_zappacosta@libero.it).

 

Buona  ricerca!

(Nei primi giorni del mese di ottobre 2013 sarà proposto il nuovo problema).

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