Luglio 2013

Problema del mese di luglio 2013

Giochiamo con i polimini.

Con questo problema di pavimentazione (o tassellazione) iniziamo dalle configurazioni geometriche più semplici. Occorre al riguardo introdurre alcune definizioni.

Figura polimorfa: figura geometrica piana formata da più figure piane (triangoli, quadrilateri, ecc.) che hanno in comune almeno un lato e non presentano sovrapposizioni o buchi.

Tra le figure polimorfe più semplici ci sono i polimini che sono delle figure geometriche piane composte da un numero finito di quadrati. Un polimino è diverso da un altro quando non riesce a  sovrapporsi perfettamente a questo, mediante rotazioni o simmetrie (ribaltamenti).

Un polimino costituito da un solo quadrato prende il nome di "monomino".

Un polimino costituito da due quadrati prende il nome di "duomino" o “domino”. Il celebre e omonimo gioco da tavolo utilizza tessere di tale forma appunto, ovvero due quadrati identici e affiancati. Aumentando il numero di quadrati, la figura prende i nomi di:

  • trimino (formata da 3 quadrati)
  • tetramino (formata da 4 quadrati)
  • pentamino (formata da 5 quadrati)
  • esamino (formata da 6 quadrati)
  • ecc. ecc.

Nella tabella che segue sono riportate alcune di queste figure in base alla disposizione dei quadrati di cui sono composte:

fig. 1

Possiamo subito notare che abbiamo una sola configurazione per il monomimo ed il duomino (o domino). Abbiamo due tipi di trimino (l’angolare ed il lungo). Abbiamo 5 tipi di tetramini (identificati dalle lettere: I, L, O, T, Z).

Infine, i pentamini sono 12 e per poterli identificare facilmente, li abbiamo collegati alle lettere dell’alfabeto più vicine alla loro forma (F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z).

 

Andiamo adesso al quesito vero e proprio:

Calcolate quante configurazioni diverse (a meno di simmetrie e rotazioni) si possono ottenere per ciascuna delle seguenti tassellazioni:

  1. rettangolo 3×5 utilizzando tre pentamini diversi;
  2. rettangolo 4×5 utilizzando quattro pentamini diversi;
  3. quadrato 5×5 utilizzando cinque pentamini diversi;
  4. rettangolo 6×5 utilizzando sei pentamini diversi.

(Riportiamo, per ciascun caso un esempio).

Buona ricerca!!!

fig. 2

Per maggiore comodità dei lettori, pubblichiamo la versione scaricabile e stampabile di questo problema.

Download (pdf, 283 KB)

Le soluzioni trovate dai lettori devono essere inviate al Mago dei Numeri Prof. Agostino Zappacosta (agostino_zappacosta@libero.it).

Attenzione: Per molti di questi problemi (tassellazione) non si conoscono le soluzioni. Perciò, verranno pubblicate nei mesi seguenti, gli elenchi di configurazioni diverse spedite dai lettori.

Pensiamo che gli elenchi a) e b) verranno esauriti abbastanza velocemente. Un po’ più di tempo occorrerà per i restanti due elenchi c) e d).  Buona  ricerca!

Soluzioni

Ci sono pervenute poche soluzioni, tutte appena accennate e incomplete.
Perciò, dopo una lunga attesa, abbiamo deciso di pubblicare alcune soluzioni.
Queste soluzioni sono volutamente incomplete. Ci sono però utili suggerimenti per chi volesse cimentarsi in questa ricerca. La colorazione dei diversi pentamini è opportuna perché aiuta visivamente molto nella ricerca delle diverse tessere utilizzate.
Le strade per arrivare alla soluzione finale sono tante. Una potrebbe essere quella di procedere utilizzando esaustivamente via via le tessere di più difficile collocazione. Una volta fatta la ricerca su una tessera di “difficile collocazione” col calcolo delle diverse combinazioni possibili, questa viene scartata. Si procede, via via, con le altre tessere.

Pubblichiamo alcune soluzioni proposte da Tino Costa

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